题解 P3476 【[POI2008]TRO-Triangles】

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$Description$

给定平面上的一些点，求这些点能组成的所有三角形的面积之和

$Solution$

以下向量的叉积运算用$\;\,\hat{}\;\,$符号表示

$\sum S_{\triangle}$为$\sum\limits_{i<j<k}|(\vec{j}-\vec{i})~\hat{}~(\vec{k}-\vec{i})|$

我们先枚举$i$,并求出其他每个点以$i$为原点的坐标

这样对于每个点$~i~$要求的就变成了$\sum\limits_{i<j<k}\left|\vec{j}\;\,\hat{}\;\,\vec{k}\right|$，我们发现有个绝对值很难处理，于是我们想让绝对值中间的叉积运算为正。

$\vec{i}\;\,\hat{}\;\,\vec{j}$只有当$~\vec{i}~$在$~\vec{j}$逆时针方向是才会是正的，所以我们在枚举$~i~$后对所有的的向量进行极角排序，原式的绝对值就消去了。

这样原式就变成了$\sum\limits_{i<j<k}(\vec{j}\;\,\hat{}\;\,\vec{k})$

再把叉积化成一般形式$:\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=i+1}^{n}\sum\limits_{k=j+1}^{n}(x_{j}\times y_{k}-y_{j}\times x_{k} )$

$\qquad\qquad\qquad\quad\;\;\,=\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=i+1}^{n}(x_{j}\times \sum\limits_{k=j+1}^{n} y_{k}-y_{j}\times\sum\limits_{k=j+1}^{n} x_{k} )$

发现可以用后缀和维护

复杂度$O(n^2logn)$

$Code$

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#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
#define re register
#define inf 0x3f3f3f3f
#define N 200900
#define sqr(x) ((x)*(x))
#define eps 1e-6
using namespace std;
struct point{
    int x,y;
    friend point operator -(point a,point b){
        return (point){b.x-a.x,b.y-a.y};
    }
    friend int operator ^(point a,point b){
        return a.x*b.y-a.y*b.x;
    }
}p[N],q[N];
inline int read(){
    int x=0,w=0;char ch=getchar();
    while (!isdigit(ch))w|=ch=='-',ch=getchar();
    while (isdigit(ch))x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0',ch=getchar();
    return w?-x:x;
}
inline bool cmp(point a,point b){
    return (a^b)>0;
}
inline bool cmp1(point a,point b){
    if (a.x!=b.x)return a.x<b.x;
    return a.y<b.y;
}
int ans;
signed main(){
    int n=read();
    for (int i=1;i<=n;++i)p[i].x=read(),p[i].y=read();
    sort(p+1,p+1+n,cmp1);
    for (int i=1;i<=n;++i){
        int tot=0;
        for (int j=i+1;j<=n;++j)q[++tot]=p[j]-p[i];
        sort(q+1,q+1+tot,cmp); 
        int sum1=0,sum2=0;
        for (int j=tot;j;--j){
            sum1+=q[j].x,sum2+=q[j].y;
            ans+=q[j].x*sum2-q[j].y*sum1;
        }
    }
    printf("%lld.%d\n",ans>>1,(ans&1)*5);;
    return 0;
}